Question

已知a＞0，函数f（x）=x|x-a|+1（x∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求所有使f（x）=x成立的x的值；
（Ⅱ）当a=1时，求函数y=f（x）在闭区间[0，2]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）试讨论函数y=f（x）的图象与直线y=a的交点个数．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用,函数的最值及其几何意义,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）当a=1时，化简方程去掉绝对值符号，求解所有使f（x）=x成立的x的值；
（Ⅱ）当a=1时，写出函数y=f（x）的分段函数的形式，利用配方法求解在闭区间[0，2]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）讨论函数y=f（x）的最值以及函数的单调性，即可判断函数的图象与直线y=a的交点个数．

解答： 解：（Ⅰ）x|x-1|+1=x，当x≥1时，可得x²-2x+1=0，解得x=1，当x＜1时，可得1-x²=0，解得x=-1．
所以x=-1或x=1；（2分）
（Ⅱ）f(x)=

x2-x+1，x≥1 -x2+x+1，x＜1

=

(x- 1 2 )2+ 3 4 ，x≥1 -(x- 1 2 )2+ 5 4 ，x＜1

（4分）
结合图象可知函数的最大值为f（2）=3，最小值为f（0）=f（1）=1（16分）
（Ⅲ）因为a＞0，所以a＞

a

2

，
所以y1=x2-ax+1在[a，+∞）上递增；y2=-x2+ax+1在(-∞，

a

2

)递增，在[

a

2

，a)上递减，
因为f（a）=1，所以当a=1时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有2个交点；
又f(

a

2

)=

a2

4

+1，而f(

a

2

)-a=

a2

4

+1-a=

1

4

(a2-4a+4)=

1

4

(a-2)2≥0，
当且仅当a=2时，上式等号成立．（10分）
所以，当0＜a＜1时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有1个交点；
当a=1时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有2个交点；
当1＜a＜2时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有3个交点；
当a=2时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有2个交点；
当a＞2时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有3个交点．（12分）

点评：本题考查函数与方程的综合应用，函数的最值，分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力．