Question

已知函数f（x）=log 

1

3

|sin（x-

π

4

）|．
（1）求它的定义域和值域．
（2）判断它的奇偶性，并求出它的单调区间．

Answer 1

考点：复合函数的单调性,正弦函数的奇偶性,复合三角函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对数的性质即可求它的定义域和值域．
（2）根据奇偶性的定义即可判断它的奇偶性，并求出它的单调区间．

解答： 解：（1）设t=|sin（x-

π

4

）|．由t=|sin（x-

π

4

）|＞0解得x-

π

4

≠kπ，即x≠

π

4

+kπ，k∈Z，
即函数的定义域为{x|x≠

π

4

+kπ}．
∵0＜t≤1，所以y≥0，即函数的值域为[0，+∞）．
（2）∵函数的定义域为{x|x≠

π

4

+kπ}关于原点不对称，
∴函数f（x）为非奇非偶函数，
∵函数t=|sin（x-

π

4

）|的递减区间为（kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]，递增区间为[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

），
∴根据复合函数单调性之间的关系可得函数f（x）=log 

1

3

|sin（x-

π

4

）|的递增区间为（kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]，递减区间为[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]．

点评：本题主要考查函数定义域，值域，奇偶性和单调性的判断，根据复合函数以及三角函数的图象和性质是解决本题的关键．