Question

已知点A（1，2），B（

1

2

，

5

2

）是函数f（x）=

ax2+b

x

的图象上的两点．
（1）求函数f（x）的解析式并写出定义域；
（2）判断f（x）在区间（-∞，-1）上的单调性，并用定义法加以证明．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）把点A、B的坐标代入解析式列出方程，求出a、b的值，代入解析式化简后求出函数的定义域；
（2）先对解析式化简并判断出函数在区间上的单调性，利用单调性的定义的步骤：取值、作差、变形、定号、下结论进行证明．

解答： 解：（1）因为点A（1，2），B（

1

2

，

5

2

）是函数f（x）的图象上的两点．
所以

2=a+b 5 2 = 1 4 a+b 1 2

，解得a=b=1，
所以f(x)=

x2+1

x

，函数的定义域是{x|x≠0}；
证明：（2）由（1）得，f(x)=

x2+1

x

=x+

1

x

，f（x）在区间（-∞，-1）上是增函数，
任取x₁、x₂∈（-∞，-1），且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=x1+

1

x1

-(x2+

1

x2

)=（x₁-x₂）+

1

x1

-

1

x2

=x₁-x₂+

x2-x1

x1x2

=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

，
因为x₁、x₂∈（-∞，-1），且x₁＜x₂，
所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，则

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，则f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在区间（-∞，-1）上是增函数．

点评：本题考查待定系数法求函数的解析式，以及利用单调性的定义的步骤：取值、作差、变形、定号、下结论证明．