Question

10．设锐角△ABC的三个内角为A，B，C，其中角B的大小为$\frac{π}{6}$，则cosA+sinC的取值范围为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 推导出A+C=$\frac{5π}{6}$，从而$\frac{π}{3}$＜A＜$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$＜C＜$\frac{π}{2}$，进而cosA+sinC=cos（$\frac{5π}{6}$-C）+sinC=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC+$\frac{3}{2}$sinC=$\sqrt{3}$sin（C-$\frac{π}{6}$），由此能求出cosA+sinC的取值范围．

解答 解：设锐角三角形ABC的三个内角分别为A，B，C，
则A+B+C=π，0＜A＜$\frac{π}{2}$，0＜B＜$\frac{π}{2}$，0＜C＜$\frac{π}{2}$，
∵B=$\frac{π}{6}$，∴A+C=$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{π}{3}$＜A＜$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$＜C＜$\frac{π}{2}$，
∴cosA+sinC=cos（$\frac{5π}{6}$-C）+sinC=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC+$\frac{1}{2}$sinC+sinC=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC+$\frac{3}{2}$sinC，
∵-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC+$\frac{3}{2}$sinC=$\sqrt{3}$（sinCcos$\frac{π}{6}$-cosCsin$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$sin（C-$\frac{π}{6}$），
又$\frac{π}{3}$＜C＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$=sin$\frac{π}{2}$＜sin（C-$\frac{π}{6}$）＜sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜cosA+sinC＜$\frac{3}{2}$，
cosA+sinC的取值范围是$（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}）$．
故答案为：$（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}）$．

点评 本题考查三角函数值的和的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三函数数两角和与差的性质的合理运用．