Question

（1）求值域：已知f（x）=2^x+2-3•4^x（-1＜x＜0）
（2）函数y=a^2x+2a^x-1（a＞0，a≠1）在区间[-1，1]上有最大值14，求a的值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设t=2^x，利用换元法将函数转化为一元二次函数，即可求函数的值域．
（2）设t=a^x，利用换元法将函数转化为一元二次函数，确定 函数的最大值，解方程即可，注意要进行分类讨论．

解答： 解：（1）∵f（x）=2^x+2-3•4^x=4•2^x-3•（2^x）²，
设t=2^x，∵-1＜x＜0，
∴

1

2

＜t＜1，
则函数等价为y=g（t）=4•t-3•t²=-3(t-

2

3

)2+

4

3

，
∵

1

2

＜t＜1，
∴g（1）＜g（t）≤g（

2

3

），
即1＜g（t）≤

4

3

，即函数的值域为（1，

4

3

]．
（2）函数y=a^2x+2a^x-1=（a^x）²+2a^x-1，
设t=a^x，则函数等价为f（t）=t²+2t-1=（t+1）²-2，对称轴为t=-1，
∵-1≤x≤1，
∴若a＞1，则0＜

1

a

≤t≤a＜1，此时函数的最大值为f（a）=（a+1）²-2=14，
即（a+1）²=16，解得a+1=4或a+1=-4，
则a=3或a=-5（舍去）．
若0＜a＜1，则0＜a≤t≤

1

a

＜1，此时函数的最大值为f（

1

a

）=（

1

a

+1）²-2=14，
即（

1

a

+1）²=16，解得

1

a

+1=4或

1

a

+1=-4，
则

1

a

=3或

1

a

=-5
解得a=

1

3

或a=-

1

5

（舍去）．
综上a=

1

3

或a=3．

点评：本题主要考查函数值域和最值的求解，利用换元法，将函数转化为关于t的一元二次函数，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键．