Question

已知{a_n}是等比数列，且a₁=3，a₄=81
（1）求通项公式a_n；
（2）设b_n=log₃a₁+log₂a₂+…+log₃a_n，求

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设出等比数列的公比，由已知求得公比，代入等比数列的通项公式得答案；
（2）把（1）中求出的a_n代入b_n=log₃a₁+log₂a₂+…+log₃a_n，进一步得到

1

bn

，然后由列项相消法求得答案．

解答： 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
由a₁=3，a₄=81，得
q3=

a4

a1

=

81

3

=27，
∴q=3．
则an=3×3n-1=3n；
（2）b_n=log₃a₁+log₂a₂+…+log₃a_n
=log33+log332+…+log33n
=1+2+…+n=

n(n+1)

2

．
∴

1

bn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．
则

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=2(1-

1

n+1

)=

2n

n+1

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．