Question

已知函数f（x）=

x

+

8-x

．
（I）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥|k-2|有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（I）由条件利用基本不等式求得

x

•

8-x

≤4，根据f²（x）≤8+8=16，求得（x）的最大值．
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥|k-2|有解，则f（x）的最大值大于或等于|k-2|，即|k-2|≤4，由此求得k的范围．

解答： 解：（I）∵(

x

)2+(

8-x

)2=8≥2

x

•

8-x

，∴

x

•

8-x

≤4，当且仅当x=4时，等号成立．
由于f²（x）=x+（8-x）+2

x

•

8-x

=8+

x

•

8-x

≤8+8=16，当且仅当x=4时，等号成立，
故f（x）的最大值为 4．
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥|k-2|有解，则f（x）的最大值大于或等于|k-2|，即|k-2|≤4，
∴-4≤k-2≤4，求得-2≤k≤6．

点评：本题主要考查基本不等式的应用，函数的能成立问题，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．