Question

14．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合，若曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α是参数），直线l的极坐标方程为$\sqrt{2}$ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=1．
（1）将曲线C的参数方程化为极坐标方程；
（2）由直线l上一点向曲线C引切线，求切线长的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α是参数），利用cos²α+sin²α=1可得直角坐标方程，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出直角坐标方程．
（2）把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式可得圆心C（3，0）到直线l的距离d，即可得出切线长的最小值=$\sqrt{{d}^{2}-{r}^{2}}$．

解答 解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α是参数），利用cos²α+sin²α=1可得：（x-3）²+y²=4，展开可得：x²+y²-6x+5=0，∴极坐标方程为ρ²-6ρcosθ+5=0．
（2）直线l的极坐标方程为$\sqrt{2}$ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=1，展开为：$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ-ρcosθ）=1，可得y-x=1．
圆心C（3，0）到直线l的距离d=$\frac{|3-0+1|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴切线长的最小值=$\sqrt{{d}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-{2}^{2}}$=2．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程及其应用、直线与圆相切的性质、勾股定理、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．