Question

19．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上的一点，$\widehat{AE}$=$\widehat{AC}$，DE交AB于点F．
（1）求证：PF•PO=PA•PB；
（2）若PD=4，PB=2，DF=$\frac{20}{7}$，求弦CD的弦心距．

Answer 1

分析 （1）先证明△PDF∽△POC，再利用割线定理，即可证得结论；
（2）设圆的半径为r，由△PDF∽△POC，可得半径为5，由切割线定理可得，PD•PC=PB•PA•解得CD=2，再由垂径定理和勾股定理，计算可得弦CD的弦心距．

解答 解：（1）证明：连接OC、OE，则∠COE=2∠CDE，
∵$\widehat{AE}$=$\widehat{AC}$，∴∠AOC=∠AOE，
∴∠AOC=∠CDE，
∴∠COP=∠PDF，
∵∠P=∠P，
∴△PDF∽△POC
∴$\frac{PD}{PO}$=$\frac{PF}{PC}$，
∴PF•PO=PD•PC，
由割线定理可得PC•PD=PA•PB，
∴PF•PO=PA•PB．
（2）设圆的半径为r，PD=4，PB=2，DF=$\frac{20}{7}$，
由△PDF∽△POC，可得$\frac{PD}{PO}$=$\frac{DF}{OC}$，
即有PD•OC=PO•DF，
即4r=$\frac{20}{7}$（2+r），解得r=5．
由切割线定理可得，PD•PC=PB•PA•
即为4（4+CD）=2（2+2r），
即有CD=r-3=5-3=2，
则弦CD的弦心距为OH=$\sqrt{O{C}^{2}-（\frac{1}{2}CD）^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查三角形相似，考查切割线定理的运用，考查学生分析解决问题的能力以及运算能力，属于中档题．