Question

9．已知函数f（x）=1-cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$cos2x，x∈R
（1）求f（x）的最小正周期和值域；
（2）若x₀（0≤x₀≤$\frac{π}{2}$）为f（x）的一个零点，求sin2x₀的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式及辅助角公式将f（x）化简，根据正弦函数图象及性质即可求得f（x）的最小正周期和值域；
（2）由f（x₀）=0，求得sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{4}$，由x₀的取值范围，即可求得2x₀-$\frac{π}{6}$的取值范围，由同角三角函数的基本关系，求得cos（2x₀-$\frac{π}{6}$）的值，由2x₀=（2x₀-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$，根据两角和的正弦公式即可求得sin2x₀的值．

解答 解：（1）f（x）=1-$\frac{1+cos2x}{2}$+$\sqrt{3}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x，
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x+$\frac{1}{2}$，
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，…（4分）
 T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}$=π，
所以f（x）的最小正周期为π，
由sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，
2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$∈[-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$]，
∴f（x）的值域为[-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$]．…（6分）
（2）由f（x₀）=2sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=0，
得sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{4}$＜0，…（7分）
又由0≤x₀≤$\frac{π}{2}$，得-$\frac{π}{6}$≤2x₀-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，…（8分）
∴-$\frac{π}{6}$≤2x₀-$\frac{π}{6}$＜0，…（9分）
∴cos（2x₀-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（2{x}_{0}-\frac{π}{6}）}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，…（10分）
则  sin2x₀=sin[（2x₀-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]，
=sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+cos（2x₀-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$ …（11分）
=-$\frac{1}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{15}}{4}$×$\frac{1}{2}$，
=$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{8}$，
sin2x₀=$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{8}$．…（13分）

点评 本题考查三角函数中的恒等变换的应用，考查二倍角公式、辅助角公式及两角和差的公式的综合运用，考查学生的计算能力，属于中档题．