Question

（本小题满分14分）给定函数
（1）试求函数的单调减区间；
（2）已知各项均为负的数列满足，求证：；
（3）设，为数列的前项和，求证：。

Answer 1

（1） 的定义域为………1分 （此处不写定义域，结果正确不扣分） 
…………3分   
由得或
单调减区间为和………5分（答案写成（0,2）扣1分；不写区间形式扣1分）
（2）由已知可得，    当时，  
两式相减得
∴或
当时，，若，则这与题设矛盾
∴    ∴                      ……8分
于是，待证不等式即为。
为此，我们考虑证明不等式
令则，
再令，    由知
∴当时，单调递增   ∴  于是
即   　　　 ①
令，   由知
∴当时，单调递增   ∴  于是
即　　　　 ②
由①、②可知              ………………10分
所以，，即   ………………11分
（3）由（2）可知  则 ……12分
在中令n=1,2,3…………..2010，2011并将各式相加得
 ……13分
即      ………………14分

解析