Question

已知函数f（x）=

kx+k ，x≤0 lnx，x＞0

(其中k≥0)，若函数y=f[f（x）]+1有4个零点，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：函数y=f[f（x）]+1的零点个数，即为方程f[f（x）]=-1的解的个数，结合函数f（x）=

kx+k ，x≤0 lnx，x＞0

(其中k≥0)，求解方程可得答案．

解答： 解：当k=0时，函数f（x）=

kx+k ，x≤0 lnx，x＞0

(其中k≥0)的图象如下图所示：

此时若函数y=f[f（x）]+1=0，则f[f（x）]=-1，
则f（x）=

1

e

，只有一解，不合题意，
当0＜k＜

1

e

时，函数f（x）=

kx+k ，x≤0 lnx，x＞0

(其中k≥0)的图象如下图所示：

此时若函数y=f[f（x）]+1=0，则f[f（x）]=-1，
则f（x）=

1

e

，或kf（x）+k=-1，只有三解，不合题意，
当k≥

1

e

时，函数f（x）=

kx+k ，x≤0 lnx，x＞0

(其中k≥0)的图象如下图所示：

此时若函数y=f[f（x）]+1=0，则f[f（x）]=-1，
则f（x）=

1

e

，或kf（x）+k=-1，有四解，满足题意，
故满足条件的实数k的取值范围是[

1

e

，+∞），
故答案为：[

1

e

，+∞）

点评：本题考查的知识点是函数零点的判定，其中将函数的零点问题转化为方程根的个数问题，是解答的关键．