Question

已知f（x）=5

3

cos²x+

3

sin²x-4sinxcosx．
（1）求f（

5π

12

）；
（2）若f（a）=5

3

，a∈（

π

2

，π），求角a．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）运用二倍角公式和两角差的正弦公式，以及特殊角的函数值，即可得到；
（2）代入化简计算，再由a的范围，以及特殊角的函数值，即可求得a．

解答： 解：（1）f（x）=5

3

cos²x+

3

sin²x-4sinxcosx
=

5 3

2

（1+cos2x）+

3

2

（1-cos2x）-2sin2x=3

3

-4（

1

2

sin2x-

3

2

cos2x）
=3

3

-4sin（2x-

π

3

）．
则f（

5π

12

）=3

3

-4sin（

5π

6

-

π

3

）=3

3

-4；
（2）若f（a）=5

3

，即有3

3

-4sin（2a-

π

3

）=5

3

，
即sin（2a-

π

3

）=-

3

2

，
由于a∈（

π

2

，π），则2a-

π

3

∈（

2π

3

，

5π

3

），
即有2a-

π

3

=

4π

3

，
即有a=

5π

6

．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查二倍角公式和两角差的正弦公式，考查特殊角的三角函数值，考查运算能力，属于中档题．