Question

18．已知点Q在圆x²+y²=1上，过点Q作x轴的垂线段MQ，垂足为M，动点P满足：$\overrightarrow{MP}=\sqrt{2}\overrightarrow{MQ}$．当点Q在圆上运动时，记动点P的轨迹为曲线Γ．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）过原点的直线与曲线Γ相交于A、B两点，过点A作y轴的垂线，垂足为C，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）相关点代入法求轨迹方程．（Ⅱ）直线与方程联立，求出交点的横坐标，表示出三角形的面积并通过函数求出最值．

解答 解：（Ⅰ）设Q（x₀，y₀），P（x，y）则M（x₀，0），$\overrightarrow{MP}=（x-{x}_{0，}y）$，$\overrightarrow{MQ}=（0，{y}_{0}）$
由$\overrightarrow{MP}=\sqrt{2}\overrightarrow{MQ}$，得$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}_{0}=0}\\{y=\sqrt{2}{y}_{0}}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=x}\\{{y}_{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}y}\end{array}\right.$
代入圆的方程中，得P点的轨迹方程：${x^2}+\frac{y^2}{2}=1$
所以曲线Γ是焦点在y轴上的椭圆，焦点坐标分别为（0，1）与（0，-1）…（4分）
当AB的斜率存在时，设AB的方程为：y=kx与Γ的方程联立，
消去y，整理得$x=±\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{{k^2}+2}}}$，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则$|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{{2\sqrt{2}}}{{\sqrt{{k^2}+2}}}，|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{{2\sqrt{2}|k|}}{{\sqrt{{k^2}+2}}}$|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}{-{x}_{2}）}^{2}+（{y}_{1}{-{y}_{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{8（{k}^{2}+1）}}{\sqrt{{k}^{2}+2}}$，…（8分）
设$C（0，\frac{{\sqrt{2}k}}{{\sqrt{{k^2}+2}}}）$，则点C到直线AB的距离$d=\frac{{\sqrt{2}|k|}}{{\sqrt{（{k^2}+1）（{k^2}+2）}}}$，${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}|AB|d=\frac{2|k|}{{k}^{2}+2}$…（10分）
当k=0时，S=0，当k≠0时$S=\frac{2}{{|k|+\frac{2}{|k|}}}≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，当$k=±\sqrt{2}$时取等号
故三角形ABC面积的最大值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（12分）

点评 本题主要考查（Ⅰ）相关点代入法求轨迹方程．（Ⅱ）直线与方程联立，求出交点的横坐标，表示出三角形的面积并通过函数求出最值