Question

如图所示，在平面四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠DAB=60°，∠BCD=120°．
（1）当BC=CD时，求△BCD的面积；
（2）设∠CDB=θ，记四边形ABCD的周长为f（θ），求f（θ）的方程，并求出它的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）在△ABD中，由余弦定理可得BD，在△BCD中由正弦定理可得BC，由面积公式可得；
（2）在△BCD中，由正弦定理可得

DC

sinθ

=

BC

sin(60°-θ)

=

BD

sin120°

=4，可得DC=4sinθ，BC=4sin（60°-θ），可得f（θ）=4sin（θ+60°）+6，由三角函数的最值可得．

解答： 解：（1）在△ABD中，AB=4，AD=2，∠DAB=60°，
由余弦定理可得BD=

22+42-2×2×4× 1 2

=2

3

，
在△BCD中，∠BCD=120°，∴当BC=CD时，∠BDC=30°，
∴由正弦定理可得BC=

BDsin30°

sin120°

=

2 3 × 1 2

3 2

=2，
∴△BCD的面积S=

1

2

×BC×CD×sin∠BCD=

1

2

×2×2×

3

2

=

3

；
（2）在△BCD中，由正弦定理可得

DC

sinθ

=

BC

sin(60°-θ)

=

BD

sin120°

=4，
解得DC=4sinθ，BC=4sin（60°-θ），
∴f（θ）=AB+AD+BC+CD=6+4sinθ+4sin（60°-θ）
=4sinθ+2

3

cosθ-2sinθ+6=4sin（θ+60°）+6，
∵0°＜θ＜60°，∴当且即当θ=30°时，sin（θ+60°）有最大值1，
∴f（θ）的最大值为：10．

点评：本题考查解三角形的实际应用，涉及正余弦定理的应用，属中档题．