Question

8．设曲线y=（ax-1）e^x（其中e是自然对数的底数）在点A（x₀，y₁）处的切线为l₁，曲线y=（1-x）e^-x（其中e是自然对数的底数）在点B（x₀，y₂）处的切线为l₂，若存在x₀∈（0，1）使得l₁⊥l₂，则实数a的取值范围是（1，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 分别求出两函数的导数，可得切线的斜率，再由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，运用参数分离和换元法，结合对勾函数的单调性，即可得到所求范围．

解答 解：y=（ax-1）e^x的导数为y′=（ax-1+a）e^x，
可得切线l₁的斜率为（ax₀-1+a）e^x₀，
y=（1-x）e^-x的导数为y′=（x-2）e^-x，
可得切线l₂的斜率为（x₀-2）e^-x₀，
由l₁⊥l₂，可得（ax₀-1+a）e^x₀•（x₀-2）e^-x₀=-1，
即为a=$\frac{3-{x}_{0}}{（2-{x}_{0}）（1+{x}_{0}）}$，0＜x₀＜1，
令3-x₀=t（2＜t＜3），即x₀=3-t，
可得a=$\frac{t}{（4-t）（t-1）}$=$\frac{1}{5-（t+\frac{4}{t}）}$，
由t+$\frac{4}{t}$在（2，3）递增，可得t+$\frac{4}{t}$∈（4，$\frac{13}{3}$），
即有$\frac{1}{5-（t+\frac{4}{t}）}$∈（1，$\frac{3}{2}$）．
则则实数a的取值范围是（1，$\frac{3}{2}$）．
故答案为：（1，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，同时考查换元法和对勾函数的单调性的运用，属于中档题．