Question

16．已知一元二次函数f（x）=ax²+2x+c（a≠0）的图象与y轴交于点（0，1），且满足f（-4）=f（0）．
（I）求该二次函数的解析式及函数的零点．
（II）已知函数在（t-1，+∞）上为增函数，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用二次函数的图象与y轴交于点（0，1），求出c，利用对称轴求出a，即可得到二次函数的解析式．然后求解零点．
（II）利用函数在（t-1，+∞）上为增函数，对称轴，列出不等式求解即可．

解答 解：（I）因为二次函数为f（x）=ax²+2x+c（a≠0）的图象与y轴交于点（0，1），
故c=1..…．①
又因为函数f（x）满足f（-4）=f（0）故：x=-$\frac{2}{2a}$=-2…..②..…（3分）
由①②得：a=$\frac{1}{2}$，c=1
故二次函数的解析式为：f（x）=$\frac{1}{2}$x²+2x+1   …．（6分）
由f（x）=0，可得函数的零点为：-2$-\sqrt{2}$，-2+$\sqrt{2}$    …（8分）
（II）因为函数在（t-1，+∞）上为增函数，
且函数图象的对称轴为x=-2，
由二次函数的性质可知：t-1≥-2，故t≥-1   …（12分）

点评 本题考查二次函数的解析式的求法，函数的零点以及二次函数的简单性质的应用，考查计算能力．