Question

6．如图，平行四边形ABCD中，点E在线段AD上，BE与AC交于点F，设$\overrightarrow{AB}=a，\overrightarrow{AD}=b$．
（I）若E为AD的中点，用向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{BE}$；
（II）用向量的方法探究：在线段AD上是否存在点E，使得点F恰好为BE的一个三等分点，若有，求出满足条件的所有点E的位置；若没有，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据向量的线性运算，用向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$分别表示出$\overrightarrow{CE}$，$\overrightarrow{BE}$．
（2）根据F的位置结合向量共线进行分类讨论，联立方程组求解．

解答 （本小题满分12分）
解：（I）$\overrightarrow{AB}=a，\overrightarrow{AD}=b$．
∴$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}$=$-\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$，…（2分）
$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}$=$-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$，…（4分）
∴$\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{BE}=-2\overrightarrow{a}$；…（6分）
（II）不妨设在线段AD上有满足条件的点E，则$\overrightarrow{AE}=λ\overrightarrow{b}$（0≤λ≤1）
（1）若$\overrightarrow{BF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BE}$，则$\overrightarrow{BF}=\frac{1}{3}（-\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}λ\overrightarrow{b}）$，
∴$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}λ\overrightarrow{b}$…（7分）
又$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，
且$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{AF}$是共线向量，则$\overrightarrow{AF}=μ\overrightarrow{AC}$
∴$\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}λ\overrightarrow{b}=μ（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$…（8分）
∵$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$是不共线的向量，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}=μ}\\{\frac{1}{3}λ=μ}\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}{λ=2}\\{μ=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$
此时λ=2与0≤λ≤1矛盾，舍去；…（9分）
（2）若$\overrightarrow{BF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}$，则$\overrightarrow{BF}=\frac{2}{3}（-\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}）$，
∴$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}λ\overrightarrow{b}$…（10分）
又$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，
且$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{AF}$是共线向量，则$\overrightarrow{AF}=μ\overrightarrow{AC}$
∴$\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}λ\overrightarrow{b}=μ（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$…（11分）
∵$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$是不共线的向量，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}=μ}\\{\frac{2}{3}λ=μ}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{1}{2}}\\{μ=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$
此时满足0≤λ≤1，
故满足条件的点E是存在的，它是线段AD的中点．…（12分）

点评 考查平面向量基本定理，平面向量线性运算，共线问题．考查分类讨论思想．根据向量共线构造方程组，是解决问题的关键．属于难题．