Question

16．已知a，b为实数，函数f（x）=x²+ax+1，且函数y=f（x+1）是偶函数，函数g（x）=-b•f（f（x+1））+（3b-1）•f（x+1）+2在区间（-∞，-2]上的减函数，且在区间（-2，0）上是增函数
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求实数b的值；
（3）设h（x）=f（x+1）-2qx+1+2q，问是否存在实数q，使得h（x）在区间[0，2]上有最小值为-2？若存在，求出q的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用函数y=f（x+1）是偶函数，求函数f（x）的解析式；
（2）利用复合函数的单调性，求实数b的值；
（3）分类讨论，求出函数的最小值，利用h（x）在区间[0，2]上有最小值为-2，得出结论．

解答 解：（1）∵函数y=f（x+1）是偶函数，
∴（x+1）²+a（x+1）+1=（-x+1）²+a（-x+1）+1，
∴4x+2ax=0，
∴a=-2，
∴f（x）=（x-1）²；
（2）g（x）=-b•f（f（x+1））+（3b-1）•f（x+1）+2=-bx⁴+（5b-1）x²+2-b，
令t=x²，u（t）=-bt²+（5b-1）t-（b-2），
在区间（-∞，-2]上，t=x²是减函数，且t∈[4，+∞），由g（x）是减函数，可知u（t）为增函数；
在区间（-2，0）上，t=x²是减函数，且t∈（0，4），由g（x）是增函数，可知u（t）为减函数，
∴由u（t）在（0，4）上是减函数，（4，+∞）上是增函数，
可得二次函数开口向上，b＜0，且-$\frac{5b-1}{-2b}$=4，∴b=-$\frac{1}{3}$；
（3）h（x）=f（x+1）-2qx+1+2q=x²=2qx+2q，x∈[0，2]．
q＜0，y_min=h（0）=1+2q=-2，q=-$\frac{3}{2}$；
0≤q≤2，y_min=h（q）=-q²+2q+1=-2，∴q=3或-1，舍去；
q＞2，y_min=h（2）=-2q+5=-2，q=$\frac{7}{2}$，
综上所述，q=-$\frac{3}{2}$或$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查函数的性质，考查函数解析式的求解，考查学生的最值，正确分类讨论是关键．