Question

11．记不等式组$\left\{\begin{array}{l}4x+3y≥10\\ x≤5\\ y≤4\end{array}\right.$表示的平面区域为D，过区域D中任意一点P作圆x²+y²=1的两条切线，切点分别为A，B，则当∠APB的最大时，cos∠APB为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当∠PAB最大时点P的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可求出结论．

解答 解：作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}4x+3y≥10\\ x≤3\\ y≤4\end{array}\right.$表示的平面区域D，如图所示，
要使∠APB最大，
则∠OPB最大，
∵sin∠OPB=$\frac{OB}{OP}$=$\frac{1}{OP}$，
∴只要OP最小即可．
则P到圆心的距离最小即可，
由图象可知当OP垂直直线3x+4y-10=0，此时|OP|=$\frac{|-10|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{10}{5}$=2，|OA|=1，
设∠APB=α，则∠APO=$\frac{α}{2}$，即sin$\frac{α}{2}$=$\frac{OA}{OP}$=$\frac{1}{2}$，
此时cosα=1-2sin²$\frac{α}{2}$=1-2×（$\frac{1}{2}$）²=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
即cos∠APB=$\frac{1}{2}$．
故选：D．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和的倍角公式．