Question

3．设函数f（x）在R上存在导函数f'（x），对任意的实数x都有f（x）=4x²-f（-x），当x∈（-∞，0）时，$f'（x）+\frac{1}{2}＜4x$．若f（m+1）≤f（-m）+4m+2，则实数m的取值范围是（　　）

• A． $[{-\frac{1}{2}，+∞}）$
• B． $[{-\frac{3}{2}，+∞}）$
• C． [-1，+∞）
• D． [-2，+∞）

Answer 1

分析 利用构造法设g（x）=f（x）-2x²，推出g（x）为奇函数，判断g（x）的单调性，然后推出不等式得到结果．

解答 解：∵f（x）=4x²-f（-x），
∴f（x）-2x²+f（-x）-2x²=0，
设g（x）=f（x）-2x²，则g（x）+g（-x）=0，
∴函数g（x）为奇函数．
∵x∈（-∞，0）时，f′（x）+$\frac{1}{2}$＜4x，
g′（x）=f′（x）-4x＜-$\frac{1}{2}$，
故函数g（x）在（-∞，0）上是减函数，
故函数g（x）在（0，+∞）上也是减函数，
若f（m+1）≤f（-m）+4m+2，
则f（m+1）-2（m+1）²≤f（-m）-2m²，
即g（m+1）＜g（-m），
∴m+1≥-m，解得：m≥-$\frac{1}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查函数奇偶性、单调性、导数的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，难度比较大．