Question

12．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两焦点为F₁，F₂，P为椭圆C上一点，且PF₂⊥x轴，若△PF₁F₂的内切圆半径r=$\frac{c}{2}$，则椭圆C的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 设出椭圆的焦点坐标，令x=c，求得|PF₂|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，由椭圆的定义可得，|PF₁|=2a-$\frac{{b}^{2}}{a}$，在直角△PF₁F₂中，运用面积相等，可得内切圆的半径r，由条件化简整理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两焦点为F₁（-c，0），F₂（c，0），
P为椭圆C上一点，且PF₂⊥x轴，
可得|F₁F₂|=2c，由x=c，可得y=±b$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
即有|PF₂|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
由椭圆的定义可得，|PF₁|=2a-$\frac{{b}^{2}}{a}$，
在直角△PF₁F₂中，$\frac{1}{2}$|PF₂|•|F₁F₂|=$\frac{1}{2}$r（|F₁F₂|+|PF₁|+|PF₂|），
可得△PF₁F₂的内切圆半径r=$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}•2c}{2a+2c}$=$\frac{1}{2}$c，
即有2b²=2（a²-c²）=a（a+c），
整理，得a=2c，
椭圆C的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的定义和三角形的内切圆的半径的求法，考查化简整理的运算能力，是中档题．