Question

【题目】已知函数.

（1）若，求函数在处的切线方程；

（2）讨论极值点的个数；

（3）若是的一个极小值点，且，证明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）当时，无极值点；当时，有一个极值点（3）证明见解析

【解析】

（1）求导得到，，，得到切线方程.

（2）求导得到，讨论和两种情况， 时必存在，使，计算单调区间得到极值点个数.

（3），即，代入得到，设，确定函数单调递减得到，令，确定单调性得到答案.

（1）当时，，，所以，.

从而在处的切线方程为，即.

（2），，

①当时，，在上是增函数，不存在极值点；

②当时，令，，

显然函数在是增函数，又因为，，

必存在，使，

，，，为减函数，

，，，为增函数，

所以，是的极小值点，

综上：当时，无极值点，当时，有一个极值点.

（3）由（2）得：，即，

，

因为，所以，

令，，在上是减函数，

且，由得，所以.

设，，，

，，所以为增函数，

即，即，所以，

所以，所以，

因为，所以，，

相乘得，

所以，

结论成立.