Question

5．已知a，b，c∈R+，且abc=1，求证：$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$≤$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$．

Answer 1

分析 由a，b，c∈R+，且abc=1，运用基本不等式证得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=bc+ac≥2$\sqrt{c}$，$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$≥2$\sqrt{a}$，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$≥2$\sqrt{b}$，相加即可得证．

解答 证明：由a，b，c∈R+，且abc=1，
$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=bc+ac≥2$\sqrt{ab{c}^{2}}$=2$\sqrt{c}$，
$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=ac+ab≥2$\sqrt{{a}^{2}bc}$=2$\sqrt{a}$，
$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$=bc+ab≥2$\sqrt{a{b}^{2}c}$=2$\sqrt{b}$，
上面三式，相加可得，
$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$≥$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$，
即为$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$≤$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$．
当且仅当a=b=c，取得等号．

点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用和累加法的运用，以及推理能力，属于中档题．