Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B为菱形，且∠A₁AB=60°，AC=BC，D是AB的中点．
（1）求证：平面A₁DC⊥平面ABC；
（2）求证：BC₁∥平面A₁DC．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件得△A₁AB为正三角形，从而得到AB⊥CD，进而得到AB⊥平面A₁DC，由此能证明平面A₁DC⊥平面ABC．
（2）连结C₁A，设AC₁∩A₁C=E，连结DE．由三角形中位线定理得到DE∥BC₁．由此能证明BC₁∥平面A₁DC．

解答： （1）证明：∵ABB₁A₁为菱形，且∠A₁AB=60°，
∴△A₁AB为正三角形．…（2分）
∵D是AB的中点，∴AB⊥A₁D．                
∵AC=BC，D是AB的中点，∴AB⊥CD．…（4分）
∵A₁D∩CD=D，∴AB⊥平面A₁DC．…（6分）
∵AB?平面ABC，∴平面A₁DC⊥平面ABC．…（8分）
（2）证明：连结C₁A，设AC₁∩A₁C=E，连结DE．
∵三棱柱的侧面AA₁C₁C是平行四边形，∴E为AC₁中点．…（10分）
在△ABC₁中，又∵D是AB的中点，∴DE∥BC₁． …（12分）
∵DE?平面A₁DC，BC₁不包含于平面A₁DC，
∴BC₁∥平面A₁DC．…（14分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．