Question

（本小题满分13分）已知函数，，，,且．

（Ⅰ）当，，时，若方程恰存在两个相等的实数根，求实数的值；

（Ⅱ）求证：方程有两个不相等的实数根；

（Ⅲ）若方程的两个实数根是，试比较与的大小并说明理由．

Answer 1

（1）或；（2）证明详见解析；（3）.

【解析】

试题分析：本题主要考查方程的根的问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将代入到中，将方程转化为，有2种情况：第一种：是一元二次方程的一个实数根，第二种：一元二次方程有两个相等的实数根，分别讨论求解；第二问，展开表达式，对求导，而方程的恒成立，所以可证得方程有两个不相等的实数根；第三问，将代入中，可计算得，而，解不等式即得.

试题解析：（1）当时，.

当时，.

依题意，若方程恰存在两个相等的实数根，包括两种情况：

（ⅰ）若是一元二次方程的一个实数根，则时，方程可化为，恰存在两个相等的实数根0（令一根为3）.

（ⅱ）若一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的根的判别式，解得，此时方程恰存在两个相等的实数根（另一根为0）.

∴当或时，方程恰存在两个相等的实数根.

（2）由，可得，，

∴.

此一元二次方程的判别式，

则.

由，可得，恒成立，

∴方程有两个不等的实数根.

（3）∵，

得

即，由，得.

考点：方程的根的问题.