Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{b}$|=1，且对任意实数x，不等式|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|恒成立，设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，则tan2θ=（　　）

• A． -$\frac{12}{5}$
• B． $\frac{12}{5}$
• C． -$\frac{4}{3}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 由题意，当（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）$⊥\overrightarrow{b}$时，对于任意实数x，不等式|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|恒成立，此时tanθ=$\frac{1}{2}$，由此能求出tan2θ．

解答 解：由平面向量加法的几何意义，只有当（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）$⊥\overrightarrow{b}$时，对于任意实数x，不等式|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|恒成立，如图所示，
设$\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OA}$或$\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}$，
斜边大于直角边恒成立，
则不等式|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|恒成立，
∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{b}$|=1，
∴tanθ=-2，
∴tan2θ=$\frac{-4}{1-4}=\frac{4}{3}$．
故选：D．
另：将不等式|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|两边平方得到不等式|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow{b}$|²≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²，展开整理得得，${x}^{2}+2\sqrt{5}cosθ×x-2\sqrt{5}cosθ-1≥0$恒成立，
所以判别式$△=20co{s}^{2}θ{\;}^{\;}+8\sqrt{5}cosθ+4≤0$，解得cosθ=$-\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，所以tanθ=-2，tan2θ=$\frac{4}{3}$；
故选D．

点评 本题考查tan2θ的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量知识和数形结合思想的合理运用．