Question

（2009•宁波模拟）设实数a＞0，b＞0，且满足a+b=1．
（1）求alog₂a+blog₂b的最小值；
（2）设

1

3

＜a＜b，求证：（9a）^b＞（9b）^a．

Answer 1

分析：（1）b=1-a代入所求关系式alog₂a+blog₂b，可得alog₂a+（1-a）log₂（1-a），再令f（x）=xlog₂x+（1-x）log₂（1-x）x∈（0，1），通过f′（x）即可求得f（x）_min，即alog₂a+blog₂b的最小值；
（2）可先通过分析法得到：要证（9a）^b＞（9b）^a，即证

ln(9a)

a

＞

ln(9b)

b

，由

1

3

＜a＜b＜

2

3

，再构造函数g（x）=

ln(9x)

x

，x∈（

1

3

，

2

3

），通过g′（x）分析出g（x）在(

1

3

，

2

3

)上单调递减，从而得证结论．

解答：解：（1）b=1-a代入得alog₂a+（1-a）log₂（1-a），
设f（x）=xlog₂x+（1-x）log₂（1-x）x∈（0，1），（1分）
则f'（x）=log₂x+log₂e-log₂（1-x）-log₂e=log₂x-log₂（1-x）；（3分）
令f'（x）＞0解得x＞

1

2

，
∴f（x）在(0，

1

2

)上单调递减，在(

1

2

，1)上单调递增．        （5分）
∴x=

1

2

，f(x)min=-1即原式的最小值为-1．（7分）
（2）要证（9a）^b＞（9b）^a，即证ln（9a）^b＞ln（9b）^a
即证bln（9a）＞aln（9b），
∵a＞0，b＞0，
即证

ln(9a)

a

＞

ln(9b)

b

，（9分）
由已知

1

3

＜a＜b＜

2

3

设g(x)=

ln(9x)

x

，x∈(

1

3

，

2

3

)（10分）
则g′(x)=

1-ln(9x)

x2

，（11分）
∵

1

3

＜x＜

2

3

，因此3＜9x＜6，
∴1＜ln3＜ln（9x）＜ln6
∴g'（x）＜0（13分）
所以g（x）在(

1

3

，

2

3

)上单调递减，
∴g（a）＞g（b），原不等式得证．                                   （14分）

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，难点在于解题突破口的选择--构造函数，着重考查导数在研究函数性质方面的工具作用，属于难题．