Question

5．已知四面体ABCD中，∠BAC=60°，∠BAD=∠CAD=90°，$AB=\sqrt{3}$，$AC=2\sqrt{3}$，其外接球体积为$\frac{32}{3}π$，则该四面体ABCD的棱AD=2．

Answer 1

分析 如图，在△ABC中，由余弦定理得BC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{B}^{2}-2ACABcos6{0}^{0}}=3$
故Rt△DAC，Rt△DBC有公共斜边DC，取DC中点O，则有OD=OC=OA=OB，即有O为球心．由外接球体积为$\frac{32}{3}π$，得球半径R=2，$\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}\sqrt{D{A}^{2}+A{C}^{2}}=2$，解得AD=2．

解答 解：如图，在△ABC中，由余弦定理得BC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{B}^{2}-2ACABcos6{0}^{0}}=3$，
满足AC²=AB²+BC²，∴AB⊥BC
∵∠BAD=∠CAD=90°，∴DA⊥面ABC
∴BC⊥面DAB，即BC⊥BD．
故Rt△DAC，Rt△DBC有公共斜边DC，
取DC中点O，则有OD=OC=OA=OB，∴O为球心．
由外接球体积为$\frac{32}{3}π$，得球半径R=2，
$\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}\sqrt{D{A}^{2}+A{C}^{2}}=2$，解得AD=2


故答案为：2

点评 本题考查了三棱锥的外接球体积，考查了转化思想，计算能力，属于中档题．