Question

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠DAB=∠ABC=90°，AD=2BC，四棱锥P-ABCD的体积为10，点M在PD上．
（Ⅰ）求证：BC∥平面PAD；
（Ⅱ）若AM⊥PD，求证：PD⊥平面ABM；
（Ⅲ）若点M是棱PD的中点，求三棱锥B-ACM的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AD∥BC，由此能证明BC∥平面PAD．
（Ⅱ）推导出AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，进而AB⊥PD，再由AM⊥PD，能证明PD⊥平面ABM．
解：（Ⅲ）由AD=2BC，得S_△ABC=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABCD}$，由点M是棱PD的中点，得点M到平面ABC的距离d是点P到平面ABCD的距离h的一半，由此利用四棱锥P-ABCD的体积为10，能求出三棱锥B-ACM的体积．

解答 证明：（Ⅰ）∵∠DAB=∠ABC=90°，∴AD∥BC，
∵BC?平面PAD，AD?平面PAD，
∴BC∥平面PAD．
（Ⅱ）∵∠DAB=90°，∴AB⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴AB⊥平面PAD，∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD，
∵AM⊥PD，AB∩AM=A，∴PD⊥平面ABM．
解：（Ⅲ）∵AD=2BC，∴S_△ABC=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABCD}$，
∵点M是棱PD的中点，∴点M到平面ABC的距离d是点P到平面ABCD的距离h的一半，
∵四棱锥P-ABCD的体积为10，
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}×h×{S}_{梯形ABCD}$=10，
∴三棱锥B-ACM的体积V_B-ACM=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×d$
=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{3}{S}_{梯形ABCD}）×（\frac{1}{2}h）$=$\frac{1}{6}$×（$\frac{1}{3}×h×{S}_{梯形ABCD}$）=$\frac{1}{6}×$10=$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．