Question

2．设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N⁺）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，则log₂₀₁₇x₁+log₂₀₁₇x₂+…+log₂₀₁₇x₂₀₁₆的值为-1．

Answer 1

分析 求出函数y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得在（1，1）处的切线方程，取y=0求得x_n，然后利用对数的运算性质得答案．

解答 解：由y=xⁿ⁺¹，得y′=（n+1）xⁿ，∴y′|_x=1=n+1，
∴曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在（1，1）处的切线方程为y-1=（n+1）（x-1），
取y=0，得x_n=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
∴x₁x₂…x₂₀₁₆=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×…×$\frac{2016}{2017}$=$\frac{1}{2017}$，
则log₂₀₁₇x₁+log₂₀₁₇x₂+…+log₂₀₁₇x₂₀₁₆=log₂₀₁₇（x₁x₂…x₂₀₁₆）
=log₂₀₁₇$\frac{1}{2017}$=-1．
故答案为：-1．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了对数的运算性质，考查转化思想和运算能力，是中档题．