Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x，}&{x＜0}\\{-\frac{1}{x}，}&{x＞0}\end{array}\right.$的图象上存在不同的两点A、B，使得曲线y=f（x）在这两点处的切线重合，则点A的横坐标的取值范围可能是（　　）

• A． （-$\frac{1}{2}$，0）
• B． （-1，-$\frac{1}{2}$）
• C． （$\frac{1}{2}$，1）
• D． （1，2）

Answer 1

分析 先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件：斜率相等且纵截距相等，列出关系式，求得$\frac{1}{4}$x₁⁴-2x₁-1=0，由零点存在定理，判断A，B，再由关系式，确定x₂的范围，即可判断C，D．

解答 解：当x＜0时，f（x）=x²+x的导数为f′（x）=2x+1；
当x＞0时，f（x）=-$\frac{1}{x}$的导数为f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$，
设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））为该函数图象上的两点，且x₁＜x₂，
当x₁＜x₂＜0，或0＜x₁＜x₂时，f′（x₁）≠f′（x₂），故x₁＜0＜x₂，
当x₁＜0时，函数f（x）在点A（x₁，f（x₁））处的切线方程为
y-（x₁²+x₁）=（2x₁+1）（x-x₁）；
当x₂＞0时，函数f（x）在点B（x₂，f（x₂））处的切线方程为y+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$（x-x₂）．
两直线重合的充要条件是$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$=2x₁+1①，-$\frac{2}{{x}_{2}}$=-x₁²②，
由x₁＜0＜x₂得0＜$\frac{1}{{x}_{2}}$＜1，
由①②可得$\frac{1}{4}$x₁⁴-2x₁-1=0，
设f（x）=$\frac{1}{4}$x⁴-2x-1，由f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{64}$＞0，f（0）=-1＜0，
可得x₁∈（-$\frac{1}{2}$，0），A可能；
由f（-1）=$\frac{5}{4}$＞0，B不正确；
由①可得x₂＞1，由②可得$\frac{2}{{x}_{2}}$=x₁²＜$\frac{1}{4}$，即有x₂＞8，
则C，D不正确．
故选：A．

点评 本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法．