Question

9．设数列{a_n}满足${a_1}+3{a_2}+{3^2}{a_3}+…+{3^{n-1}}{a_n}=\frac{n}{3}（n∈{N^*}）$
（1）求a_n；
（2）设${b_n}=\frac{n}{a_n}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}满足${a_1}+3{a_2}+{3^2}{a_3}+…+{3^{n-1}}{a_n}=\frac{n}{3}（n∈{N^*}）$，n≥2时，a₁+3a₂+…+3^n-2•a_n-1=$\frac{n-1}{3}$．相减可得a_n，验证n=1时是否成立．
（2）${b_n}=\frac{n}{a_n}$=n•3ⁿ，利用错位相减法可得数列{b_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）数列{a_n}满足${a_1}+3{a_2}+{3^2}{a_3}+…+{3^{n-1}}{a_n}=\frac{n}{3}（n∈{N^*}）$，
n≥2时，a₁+3a₂+…+3^n-2•a_n-1=$\frac{n-1}{3}$．
∴3^n-1a_n=$\frac{1}{3}$，解得a_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$．
n=1时，a₁=$\frac{1}{3}$，页满足上式．
∴${a_n}=\frac{1}{3^n}$．
（2）${b_n}=\frac{n}{a_n}$=n•3ⁿ，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，
3S_n=3²=2•3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹．
∴-2S_n=3+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-n•3ⁿ⁺¹．
∴${S_n}=（\frac{n}{2}-\frac{1}{4}）{3^{n+1}}+\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．