Question

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x²+y²-12x-14y+60=0及其上一点A（2，4）．
（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；
（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得$\overrightarrow{TA}$+$\overrightarrow{TP}$=$\overrightarrow{TQ}$，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设N（6，n），则圆N为：（x-6）²+（y-n）²=n²，n＞0，从而得到|7-n|=|n|+5，由此能求出圆N的标准方程．
（2）由题意得OA=2$\sqrt{5}$，k_OA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d=$\frac{|5+b|}{\sqrt{5}}$，由此能求出直线l的方程．
（3）$\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{TP}$=$\overrightarrow{TQ}$，即|$\overrightarrow{TA}$|=$\sqrt{（t-2）^{2}+{4}^{2}}$，又|$\overrightarrow{PQ}$|≤10，得t∈[2-2$\sqrt{21}$，2+2$\sqrt{21}$]，对于任意t∈[2-2$\sqrt{21}$，2+2$\sqrt{21}$]，欲使$\overrightarrow{TA}=\overrightarrow{PQ}$，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为$\sqrt{25-\frac{|TA{|}^{2}}{4}}$，由此能求出实数t的取值范围．

解答 解：（1）∵N在直线x=6上，∴设N（6，n），
∵圆N与x轴相切，∴圆N为：（x-6）²+（y-n）²=n²，n＞0，
又圆N与圆M外切，圆M：x²+y²-12x-14y+60=0，即圆M：（x-6）²+（x-7）²=25，
∴|7-n|=|n|+5，解得n=1，
∴圆N的标准方程为（x-6）²+（y-1）²=1．
（2）由题意得OA=2$\sqrt{5}$，k_OA=2，设l：y=2x+b，
则圆心M到直线l的距离：d=$\frac{|12-7+b|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}$=$\frac{|5+b|}{\sqrt{5}}$，
则|BC|=2$\sqrt{{5}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{25-\frac{（5+b）^{2}}{5}}$，BC=2$\sqrt{5}$，即2$\sqrt{25-\frac{（5+b）^{2}}{5}}$=2$\sqrt{5}$，
解得b=5或b=-15，
∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x-15．
（3）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵A（2，4），T（t，0），$\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{TP}=\overrightarrow{TQ}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}={x}_{1}+2-t}\\{{y}_{2}={y}_{1}+4}\end{array}\right.$，①
∵点Q在圆M上，∴（x₂-6）²+（y₂-7）²=25，②
将①代入②，得（x₁-t-4）²+（y₁-3）²=25，
∴点P（x₁，y₁）即在圆M上，又在圆[x-（t+4）]²+（y-3）²=25上，
从而圆（x-6）²+（y-7）²=25与圆[x-（t+4）]²+（y-3）²=25有公共点，
∴5-5≤$\sqrt{[（t+4）-6]^{2}+（3-7）^{2}}$≤5+5．
解得2-2$\sqrt{21}$≤t$≤2+2\sqrt{21}$，
∴实数t的取值范围是[2-2$\sqrt{21}$，2+2$\sqrt{21}$]．

点评 本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．