Question

3．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{CA}$=4，$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{CF}$=-1，则$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CE}$的值是$\frac{7}{8}$．

Answer 1

分析 由已知可得$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{DF}$，$\overrightarrow{CF}$=-$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{DF}$，$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{BD}$+3$\overrightarrow{DF}$，$\overrightarrow{CA}$=-$\overrightarrow{BD}$+3$\overrightarrow{DF}$，$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BD}$+2$\overrightarrow{DF}$，$\overrightarrow{CE}$=-$\overrightarrow{BD}$+2$\overrightarrow{DF}$，结合已知求出$\overrightarrow{DF}$²=$\frac{5}{8}$，$\overrightarrow{BD}$²=$\frac{13}{8}$，可得答案．

解答 解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，
∴$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{DF}$，$\overrightarrow{CF}$=-$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{DF}$，
$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{BD}$+3$\overrightarrow{DF}$，$\overrightarrow{CA}$=-$\overrightarrow{BD}$+3$\overrightarrow{DF}$，
∴$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{DF}$²-$\overrightarrow{BD}$²=-1，
$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{CA}$=9$\overrightarrow{DF}$²-$\overrightarrow{BD}$²=4，
∴$\overrightarrow{DF}$²=$\frac{5}{8}$，$\overrightarrow{BD}$²=$\frac{13}{8}$，
又∵$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BD}$+2$\overrightarrow{DF}$，$\overrightarrow{CE}$=-$\overrightarrow{BD}$+2$\overrightarrow{DF}$，
∴$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CE}$=4$\overrightarrow{DF}$²-$\overrightarrow{BD}$²=$\frac{7}{8}$，
故答案为：$\frac{7}{8}$

点评 本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档．