Question

14．在平面直角坐标系中，定义两点A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）间的“L-距离”为d（A-B）=|x_A-x_B|+|y_A-y_B|．现将边长为1的正三角形按如图所示方式放置，其中顶点A与坐标原点重合，记边AB所在的直线斜率为k（0≤k≤$\sqrt{3}$），则d（B-C）取得最大值时，边AB所在直线的斜率为2-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由题意设B（cosθ，sinθ），则C（cos（θ+$\frac{π}{3}$），sin（θ+$\frac{π}{3}$）），则BC|=|cos（θ+$\frac{π}{3}$）-cosθ|+|sin（θ+$\frac{π}{3}$）-sinθ|，由角的范围化简|BC|，然后利用辅助角公式化积，再利用三角函数求最值得答案．

解答 解：设B（cosθ，sinθ），则C（cos（θ+$\frac{π}{3}$），sin（θ+$\frac{π}{3}$）），
∴|BC|=|cos（θ+$\frac{π}{3}$）-cosθ|+|sin（θ+$\frac{π}{3}$）-sinθ|，
∵0≤θ≤$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{π}{3}$≤θ+$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$＜π，即0≤θ＜θ+$\frac{π}{3}$＜π，
∴|cos（θ+$\frac{π}{3}$）-cosθ|=cosθ-cos（θ+$\frac{π}{3}$）．
∵0≤θ≤$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$≤θ+$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
∴|sin（θ+$\frac{π}{3}$）-sinθ|=sin（θ+$\frac{π}{3}$）-sinθ，
|BC|=cosθ-cos（θ+$\frac{π}{3}$）+sin（θ+$\frac{π}{3}$）-sinθ
=cosθ-cosθcos$\frac{π}{3}$+sinθsin$\frac{π}{3}$+sinθcos$\frac{π}{3}$+cosθsin$\frac{π}{3}$-sinθ
=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$cosθ
=$\sqrt{2}$sin（θ+φ）（tanφ=2+$\sqrt{3}$），
由θ+φ=$\frac{π}{2}+$2kπ，k∈Z，得θ=-φ+$\frac{π}{2}+$2kπ，k∈Z，
∴tanθ=tan（-φ+$\frac{π}{2}+$2kπ）=$\frac{1}{tanφ}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$，即边AB所在直线的斜率为$2-\sqrt{3}$时，则d（B-C）取得最大值，
故答案为$2-\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，综合性强，属于中档题．