Question

11．对于两个定义域相同的函数f（x）、g（x），若存在实数m，n，使h（x）=mf（x）+ng（x），则称函数f（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的．
（1）若f（x）=x²+3x和g（x）=3x+4生成一个偶函数h（x），求h（2）的值；
（2）若h（x）=2x²+3x-1是由f（x）=x²+ax和g（x）=x+b生成，其中a，b∈R且ab≠0，求$\frac{a}{b}$的取值范围；
（3）利用“基函数f（x）=log₄（4^x+1），g（x）=x-1）”生成一个函数h（x），使得h（x）满足：
①是偶函数，②有最小值1，求h（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）（1）先用待定系数法表示出偶函数h（x），再根据其是偶函数这一性质得到引入参数的方程，求出参数的值，即得函数的解析式，代入自变量求值即可．
（2）设h（x）=2x²+3x-1=m（x²+ax）+n（x+b），展开后整理，利用待定系数法找到a，b的关系，由系数相等把a，b用n表示，然后结合n的范围求解$\frac{a}{b}$的取值范围；
（3）设h（x）=m（log₄（4^x+1））+n（x-1），h（x）是偶函数，则h（-x）-h（x）=0，可得m与n的关系，h（x）有最小值则必有n＜0，且有-2n=1，求出m和n值，可得解析式．

解答 解：（1）f（x）=x²+3x和g（x）=3x+4生成一个偶函数h（x），则有h（x）=mx²+3（m+n）x+4n，
h（-x）=mx²-3（m+n）x+4n=mx²+3（m+n）x+4n，
∴m+n=0，
故得h（x）=mx²-4m，
∴h（2）=0．
（2）设h（x）=2x²+3x-1=m（x²+ax）+n（x+b）=mx²+（am+n）x+nb．
∴m=2，am+n=3，nb=-1，
则a=$\frac{3-n}{m}$，b=$-\frac{1}{n}$．
所以：$\frac{a}{b}$=$\frac{{n}^{2}-3n}{m}$=$\frac{1}{2}$${（n-\frac{3}{2}）}^{2}-\frac{9}{8}$，
∵a，b∈R且ab≠0，
∴$\frac{a}{b}$的取值范围为[-$\frac{9}{8}$，0）∪（0，+∞）．
（3）设h（x）=m（log₄（4^x+1））+n（x-1），
∵h（x）是偶函数，
∴h（-x）-h（x）=0，
即m（log₄（4^-x+1））+n（-x-1）-m（log₄（4^x+1））-n（x-1）=0，
∴（m+2n）x=0，可得：m=-2n．
则h（x）=-2n（log₄（4^x+1））+n（x-1）=-2n[log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$]
=-2n[log₄（2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$）+$\frac{1}{2}$]，
∵h（x）有最小值1，则必有n＜0，且有-2n=1，
∴m=1，n=$-\frac{1}{2}$，
故得h（x）=log₄（4^x+1）$-\frac{1}{2}$（x-1）．

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，会求利用函数的最值，关键是对题意的理解与合理转化．