Question

在等差数列中，，，记数列的前项和为．

（1）求数列的通项公式；

（2）是否存在正整数、，且，使得、、成等比数列？若存在，求出所有符合条件的、的值；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：(1)根据等差数列的首项和公差求通项公式；（2）观测数列的特点形式，看使用什么方法求和.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的；（3）与数列有关的探索问题：第一步：假设符合条件的结论存在；第二步：从假设出发，利用题中关系求解；第三步，确定符合要求的结论存在或不存在；第四步：给出明确结果；第五步：反思回顾，查看关键点.

试题解析：(1）设等差数列的公差为，

因为即解得

所以．数列的通项为． 5分

（2）因为，

所以数列的前项和

．

假设存在正整数、，且，使得、、成等比数列，

则．即．

所以．因为，所以．即．

因为，所以．因为，所以．

此时．

所以存在满足题意的正整数、，且只有一组解，即，． 13分

考点：（1）等差数列的通项公式；（2）裂项求和；（3）探索性问题.