Question

19．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）满足条件f（-x+1）=f（x+1），f（2）=0，且方程f（x）=x有等根．
（1）求a，b，c的值；
（2）当x∈[-1，1]时，函数g（x）=f（x）-mx（m∈R）是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数f（x）的对称轴是-$\frac{b}{2a}$=1，求出c=2，再根据方程（x）=x有等根，得到△=0，联立方程组解出即可；
（2）先求出函数的导数，问题转化为m≤（x-1）_min或m≥（x-1）_max即可．

解答 解：（1）∵f（x）满足f（1+x）=f（1-x），∴f（x）的图象关于直线x=1对称．
而二次函数f（x）的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$，∴-$\frac{b}{2a}$=1．①，
由f（2）=0，得：c=0，
又f（x）=x有等根，即ax²+（b-1）x+2=0有等根，∴△=（b-1）²-8a=0．②
由①②解得：a=$\frac{1}{2}$，b=-1；
（2）由（1）得：f（x）=$\frac{1}{2}$x²-x+2，
g（x）=f（x）-mx=$\frac{1}{2}$x²-（m+1）x+2，
g′（x）=x-（m+1），
若x∈[-1，1]时，函数g（x）=f（x）-mx（m∈R）是单调函数，
则g′（x）≥0或g′（x）≤0在x∈[-1，1]恒成立，
即m≤（x-1）_min=-2或m≥（x-1）_max=0，
∴m≥0或m≤-2．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道中档题．