Question

8．若二次函数y=f（x）（x∈R）的最大值为5，且f（3）=f（-1）=1．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程x²-mf′（x）+4m+1=0（f′（x）为函数y=f（x）的导数）其中一根在（-∞，0）内，另一根在（1，2）内，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（3）=f（-1）可得函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，结合函数y=f（x）（x∈R）的最大值为5，设出函数的顶点式，代入（3，1）点可得答案；
（2）若x²-mf′（x）+4m+1=0其中一根在（-∞，0）内，另一根在（1，2）内，则x²+2mx+2m+1=0其中一根在（-∞，0）内，另一根在（1，2）内，构造函数g（x）=x²+2mx+2m+1，则$\left\{\begin{array}{l}g（0）＜0\\ g（1）＜0\\ g（2）＞0\end{array}\right.$，解得答案．

解答 解：（1）∵f（3）=f（-1）=1．
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
又由函数y=f（x）（x∈R）的最大值为5，
可设函数y=f（x）=a（x-1）²+5，
将（3，1）代入得：a=-1，
∴f（x）=-（x-1）²+5=-x²+2x+4，
（2）由（1）得：f′（x）=-2x+2，
若x²-mf′（x）+4m+1=0其中一根在（-∞，0）内，另一根在（1，2）内，
则x²+2mx+2m+1=0其中一根在（-∞，0）内，另一根在（1，2）内，
令g（x）=x²+2mx+2m+1，
则$\left\{\begin{array}{l}g（0）＜0\\ g（1）＜0\\ g（2）＞0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}2m+1＜0\\ 4m+2＜0\\ 6m+5＞0\end{array}\right.$，
解得：m∈（-$\frac{5}{6}$，-$\frac{1}{2}$）

点评 本题考查的知识点是二次函数，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．