【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:的离心率为
,右准线方程为
.
求椭圆C的标准方程;
已知斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于A,B两点,且点A在第三象限内
为椭圆C的上顶点,记直线MA,MB的斜率分别为
,
.
若直线l经过原点,且
,求点A的坐标;
若直线l过点
,试探究
是否为定值?若是,请求出定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)①
;②为定值1.
【解析】
(1)由已知列关于a,c的方程组,求解可得a,c的值,再由隐含条件求得b,则椭圆C的标准方程可求;
(2)①设A(x1,y1),M(0,1),由椭圆对称性可知B(﹣x1,﹣y1),由点A(x1,y1)在椭圆上,得到,求出k1k2,结合k1﹣k2
,可得k1=1,则直线MA的方程可求,再与椭圆方程联立即可求得A的坐标;
②直线l过点(﹣2,﹣1),设其方程为y+1=k(x+2),与椭圆方程联立,利用根与系数的关系即可得到k1+k2是定值.
(1)因为椭圆的离心率为,右准线方程为
,
所以,
解得.
又因为.
所以椭圆的标准方程为
.
(2)设,
,
为椭圆的上顶点,则
.
①因为直线经过原点,由椭圆对称性可知
.
因为点在椭圆上,所以
,即
.
因为,
.
所以.
所以,解得
或
.
因为点在第三象限内,所以
,所以
,则直线
的方程为
.
联结方程组,解得
或
,所以
.
(解出,
,也可根据
,
,求出点
的坐标)
②直线过点
,设其方程为
.
联列方程组,消去
可得(4k2+1)x2+8k(2k﹣1)x+16k(k﹣1)=0.
当时,由韦达定理可知
,
.
又因为
.
所以为定值1.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】水葫芦原产于巴西,年作为观赏植物引入中国. 现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长. 某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究,发现其蔓延速度越来越快,经过
个月其覆盖面积为
,经过
个月其覆盖面积为
. 现水葫芦覆盖面积
(单位
)与经过时间
个月的关系有两个函数模型
与
可供选择.
(参考数据: )
(Ⅰ)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;
(Ⅱ)求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆:
过点
,且两个焦点的坐标分别为
,
.
(1)求的方程;
(2)若,
,
为
上的三个不同的点,
为坐标原点,且
,求证:四边形
的面积为定值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:.
若圆C的切线l在x轴和y轴上的截距相等,且截距不为零,求切线l的方程;
已知点
为直线
上一点,由点P向圆C引一条切线,切点为M,若
,求点P的坐标.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在某次高中学科知识竞赛中,对4000名考生的参赛成绩进行统计,可得到如图所示的频率分布直方图,其中分组的区间为,
,
,
,
,
,60分以下视为不及格,若同一组中数据用该组区间中间值作代表值,则下列说法中正确的是( )
A.成绩在的考生人数最多B.不及格的考生人数为1000
C.考生竞赛成绩的平均分约为70D.考生竞赛成绩的中位数为75分
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某车间有5名工人其中初级工2人,中级工2人,高级工1人现从这5名工人中随机抽取2名.
Ⅰ
求被抽取的2名工人都是初级工的概率;
Ⅱ
求被抽取的2名工人中没有中级工的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知是同一平面内的三个向量,下列命题中正确的是( )
A.
B.若且
,则
C.两个非零向量,
,若
,则
与
共线且反向
D.已知,
,且
与
的夹角为锐角,则实数
的取值范围是
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com