Question

双曲线

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y=x²+1有四个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）

• A、（1，

  5

  ）
• B、（1，

  5

  2

  ）
• C、（

  5

  2

  ，+∞）
• D、（

  5

  ，+∞）

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先根据双曲线方程表示出渐近线方程与抛物线方程联立，利用判别式等于0求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，则双曲线的离心率可得．

解答： 解：依题意可知双曲线渐近线方程为y=±

a

b

x，与抛物线方程联立消去y得x²±

b

a

x+1=0 
∵渐近线与抛物线有有四个公共点
∴每条条渐近线与抛物线y=x²+1都有2个公共点
∴△=

a2

b2

-4＞0，求得4b²＜a²，
∴e²=1+

b2

a2

＜1+

1

4

=

5

4

∴e＜

5

2

．
又双曲线的离心率大于1，
故双曲线的离心率e的取值范围：（1，

5

2

）．
故选：B．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质和圆锥曲线之间位置关系．常需要把曲线方程联立根据判别式和曲线交点之间的关系来解决问题．