Question

17．已知函数y=$\frac{2x+1}{2{x}^{2}+x+2}$，求该函数的最值．

Answer 1

分析 由题意可得函数的定义域为R，然后利用判别式法求函数的值域，从而得到函数的最值．

解答 解：∵$2{x}^{2}+x+2=2（x+\frac{1}{4}）^{2}+\frac{15}{8}＞0$，
∴y=$\frac{2x+1}{2{x}^{2}+x+2}$的定义域为R，
由y=$\frac{2x+1}{2{x}^{2}+x+2}$，得2yx²+（y-2）x+2y-1=0．
若y=0，则x=$-\frac{1}{2}$；
若y≠0，由△=（y-2）²-8y（2y-1）=-15y²+4y+4≥0，解得$-\frac{6}{5}≤y≤2$，且y≠0．
综上，函数y=$\frac{2x+1}{2{x}^{2}+x+2}$的值域为[$-\frac{6}{5}，2$]．
则最小值为-$\frac{6}{5}$，最大值为2．

点评 本题考查函数值域的求法，训练了利用判别式法求函数的值域，是中档题．