Question

12．有四个数成等差数列，它们的平方和等于276，第一个数与第四个数之积比第二个数与第三个数之积少32，求这四个数．

Answer 1

分析 由题意设四个数分别为a-3d，a-d，a+d，a+3d，结合已知列出关于a，d的方程组求得a，d的值，则答案可求．

解答 解：设四个数分别为a-3d，a-d，a+d，a+3d，
则有$\left\{\begin{array}{l}{（a-3d）^{2}+（a-d）^{2}+（a+d）^{2}+（a+3d）^{2}=276}\\{（a-3d）（a+3d）+32=（a-d）（a+d）}\end{array}\right.$，
化简得$\left\{\begin{array}{l}{4{a}^{2}+20{d}^{2}=276}\\{{d}^{2}=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=7}\\{d=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=7}\\{d=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-7}\\{d=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-7}\\{d=-2}\end{array}\right.$．
∴所求四个数分别为：1，5，9，13或13，9，5，1或-13，-9，-5，-1或-1，-5，-9，-13．

点评 本题考查等差数列的性质，灵活设出四个数是解答该题的关键，是中档题．