Question

2．已知数列{a_n}的前n项和S_n，且满足a₁=1，S_n²=a_n（S_n-$\frac{1}{2}$），（n≥2）．
（1）证明：数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）将a_n=S_n-S_n-1代入已知等式，展开变形、化简可得$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，证出数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}为等差数列；
（2）由（1）求出S_n的表达式，进而可以求出a_n ．

解答 （1）证明：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，
∴${{S}_{n}}^{2}=（{S}_{n}-{S}_{n-1}）（{S}_{n}-\frac{1}{2}）$=${{S}_{n}}^{2}-\frac{1}{2}{S}_{n}-{S}_{n}{S}_{n-1}+\frac{1}{2}{S}_{n-1}$，
∴S_n-1-S_n=2S_nS_n-1，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}=2$，即数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}为等差数列；
（2）解：S₁=a₁=1，∵数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}为等差数列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{1}{{S}_{1}}$+（n-1）×2=2n-1，∴${S}_{n}=\frac{1}{2n-1}$，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n-3}=-\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}$，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{-\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查由递推式求等差数列通项公式及数列求和，考查转化思想，属于中档题．