Question

6．已知不等式$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n（n+1）}＞lo{g}_{2}（a-1）+a-\frac{7}{2}$对一切正整数n恒成立，则实数a的范围为（　　）

• A． （0，3）
• B． （1，3）
• C． （2，4）
• D． （3，+∞）

Answer 1

分析 由于$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，于是原不等式化为$1-\frac{1}{n+1}$＞$lo{g}_{2}（a-1）+a-\frac{7}{2}$，由于不等式$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n（n+1）}＞lo{g}_{2}（a-1）+a-\frac{7}{2}$对一切正整数n恒成立，可得$1-\frac{1}{2}＞$log₂（a-1）+a-$\frac{7}{2}$，化简整理利用对数函数的单调性即可得出．

解答 解：∵$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴不等式$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n（n+1）}＞lo{g}_{2}（a-1）+a-\frac{7}{2}$，
化为$1-\frac{1}{n+1}$＞$lo{g}_{2}（a-1）+a-\frac{7}{2}$，
由于不等式$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n（n+1）}＞lo{g}_{2}（a-1）+a-\frac{7}{2}$对一切正整数n恒成立，
∴$1-\frac{1}{2}＞$log₂（a-1）+a-$\frac{7}{2}$，
化为4-a＞log₂（a-1），
∴1＜a＜3．
故选：B．

点评 本题考查了数列“裂项求和”、恒成立问题的等价转化方法、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．