Question

设抛物线y²=4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，若∠AQB=90°，则直线l的方程为________．

Answer 1

x=1
分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由∠AQB=90°得k_AQ•k_BQ=-1，建立关系式并化简得y₁y₂=x₁x₂+（x₁+x₂）+1，再根据抛物线的性质将x₁x₂=1和y₁y₂=4代入计算，可得x₁=x₂=1，即可得到直线l的方程．
解答：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵∠AQB=90°，
∴k_AQ•k_BQ=-1，可得•=-1，即y₁y₂=（x₁+1）（x₂+1）
整理可得y₁y₂=x₁x₂+（x₁+x₂）+1…（*）
∵直线AB经过抛物线y²=4x的焦点F（1，0）
∴根据抛物线的性质，可得x₁x₂=p²=1，y₁y₂=p²=4
代入（*）得：4=1+（x₁+x₂）+1，可得x₁+x₂=2
结合x₁x₂=1，可得x₁=x₂=1，即A、B两点的横坐标相等，
∴直线AB的方程为x=1，即直线l的方程为x=1
故答案为：x=1
点评：本题给出抛物线的焦点弦AB的端点对点Q（-1，0）的张角等于90度，求直线AB的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．