Question

已知A，B是抛物线y²=-7x上的两点，且OA⊥OB
（Ⅰ）求证：直线AB过定点，并求出定点坐标；
（Ⅱ）求△AOB的面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

y12=-7x1 y22=-7x2

，由OA⊥OB，知y₁y₂=-49，x₁x₂=49，利用题设条件推导出AB的方程为y-y₁=

-7

y1+y2

(x-x1)，由此能推导出直线AB过点（-7，0）．
（2）直线AB过点（-7，0），OA⊥OB，当直线AB过（-7，0）且垂直于x轴时，△AOB的面积的取最小值．由此能求出结果．

解答：（1）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

y12=-7x1 y22=-7x2

，
∵OA⊥OB，∴

OA

•

OB

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴（-

y12

7

）•（-

y22

7

）+y₁y₂=0，
∴y₁y₂=-49，x₁x₂=49，
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

y1-y2

y12 -7 - y22 -7

=

-7

y1+y2

，
∴AB的方程为y-y₁=

-7

y1+y2

(x-x1)，
∴y=

-7

y1+y2

x-

49

y1+y2

，
∴y=

-7

y1+y2

（x+7），
∴直线AB过点（-7，0）…（6分）
（2）解：∵直线AB过点（-7，0），OA⊥OB，
∴当直线AB过（-7，0）且垂直于x轴时，△AOB的面积的取最小值．
此时A（-7，7），B（-7，-7），
∴|OA|=|OB|=7

2

，
∴△AOB的面积的最小值S=

1

2

×7

2

×7

2

=49．…（12分）

点评：本题考查直线过定点的证明，考查三角形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意抛物线性质的合理运用．