Question

如图，、为椭圆的左、右焦点，、  是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率，．若在椭圆上，则点称为点的一个“好点”．直线与椭圆交于、两点， 、两点的“好点”分别为、，已知以为直径的圆经过坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．

Answer 1

解析：（Ⅰ）由题意得，故，．                

，     

故，即，所以，               

故椭圆的标准方程为：．                                       

（Ⅱ）设、，则、．

①当直线的斜率不存在时，即，，

由以为直径的圆经过坐标原点可得，

即，解得，            

又点在椭圆上，所以，解得，

所以．                          

②当直线的斜率存在时，设其方程为．

由，消得， 

由根与系数的关系可得，              

由以为直径的圆经过坐标原点可得，即，

即．                                            

故

整理得，即．

所以．                                              

而

故                   

而点到直线的距离，

所以

．                  

综合①②可知的面积为定值1．