Question

【题目】已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）+2x＞0的解集为（1，3）．
（1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）的最大值为正数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意可设f（x）+2x=a（x﹣1）（x﹣3）

即a（x﹣1）（x﹣3）＞0的解集为（1，3）

∴a＜0，f（x）=ax2﹣2（2a+1）x+3a

又方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，

∴ax2﹣2（2a+1）+9a=0有两相等实根

∴△=4（2a+1）2﹣36a2=0

∴ （a=1舍去）

（2）解： ＞0

∵a＜0

∴a2+4a+1＞0

故

【解析】（1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，结合不等式的解集，利用待定系数法进行求解即可求f（x）的解析式；（2）根据二次函数的性质进行求解．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．